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leftp0_d.inc

 

Kubische (paraelektrische)und tetragonale (ferroelektrische) Struktur von PZT und BaTiO₃ vor und nach dem Anlegen eines elektrischen Feldes bzw. Einwirken einer mechanischen Spannung



Symbolische Darstellung der elektrischen Orientierungsvorgänge in piezoelektrischer Keramik, am Beispiel der Korn- und Domänenstruktur

Der Piezoeffekt 

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Der Piezoeffekt hat grossen Bedeutung in allen Bereichen des täglichen Lebens. Überwiegend werden heute piezoelektrische Keramiken eingesetzt. Piezoelektrische Keramiken zählen zur Gruppe der ferroelektrischen Materialien. Ferroelektrika sind Kristalle, die ohne ein angelegtes elektrisches Feld polar sind. Dieser Zustand wird auch als spontane Polarisation bezeichnet. Charakteristisch ist die thermodynamisch stabile Umkehrbarkeit ihrer Polarisationsachse unter Einwirkung eines elektrischen Feldes, beschrieben durch den Verlauf einer Hystereseschleife. Die Umkehrbarkeit der Polarisation bzw. die Kopplung zwischen mechanischen und elektrischen Größen ist von entscheidender Bedeutung für die breite technische Nutzung der Piezo-Keramiken.

Aus kristallografischer Sicht zeigen diese piezoelektrischen Materialien eine sog. Perowskit- Kristallstruktur. Diese beschreibt eine Reihe von Verbindungen mit drei Atomarten der allgemeinen Formel ABC.

Die heute gebräuchlichen Piezokeramiken werden vorzugsweise aus Blei-, Zirkon- und Titanoxiden als Hauptbestandteile zum PbTiO₃ - PbZrO₃ -Typ, und auch BaTiO₃ synthetisiert.

Spezielle Dotierungen dieser Blei-Zirkonat-Titanat-Keramiken (PZT)mit z. B. Ni-, Bi-. Sb-, Nb- Ionen usw., ermöglichen das gezielte Einstellen der geforderten piezoelektrischen und dielektrischen Parameter.

Oberhalb einer charakteristischen Temperatur, der sog. Curietemperatur, sind diese Materialien nicht ferroelektrisch. Es liegen paraelektrische Eigenschaften vor, d.h. es sind keine Dipole vorhanden. Die relative Dielektrizitätskonstante besitzt in der Umgebung dieser Temperatur ein ausgeprägtes Maximum.

Unterhalb des Curiepunktes des Materials treten, ausgehend von einem kubischen und elektrisch neutralen Kristallaufbau, Gitterverzerrungen auf. Mit Aufhebung der damit verbundenen Ladungssymmetrie entstehen Dipole und die für die Piezotechnologie interessanten rhomboedrischen bzw. tetragonalen Kristallitphasen bilden sich heraus.

Ferroelektrische Domänen undPolarisation der Piezo-Keramik

Ein ferroelektrischer Kristall kann in Raumgebiete unterschiedlicher Polarisations-richtung eingeteilt werden, sog. ferroelektrische Domänen. Unter einer Domäne in einem Festkörper versteht man allgemein ein physikalisch abgegrenztes Raum-gebiet, in dem eine den Zustand des Festkörpers charakterisierende vektorielle Größe überall die gleiche Richtung hat. Diese charakteristische Größe einer ferroelektrischen Domäne besteht in gleicher Ausrichtung und gleichem Absolutbetrag der spontanen Polarisation. Je nach Korngröße des polykristallinen Keramikmaterials enthalten die Einzelkristallite nur einige wenige Domänen, abgegrenzt durch sog. Domänenwände.

Bei großen Änderungen der elektrischen Feldstärke bzw. mechanischen Spannung kommt es zu Domänenwand- Schaltprozessen, d.h. einzelne Raumbereiche werden durch Domänen-Neubildung umgepolt. Diese Schaltprozesse und irreversible Domänenwandverschiebungen sind u.a. die Ursachen der bekannten ferroelektrischen Hysteresekennlinien.

Im Herstellungsprozess piezoelektrischer Keramiken sind diese polykristallinen Materialien nach dem Sinterprozess im sog. thermisch-depolarisierten Zustand. Statistisch gesehen existiert eine nahezu gleichverteilte Ausrichtung der spontanen Polarisationsrichtungen in den Domänen und das Material ist isotrop, d.h. nicht piezoelektrisch. Durch das Anlegen eines starken elektrischen Feldes E werden diese spontanen Domänenpolarisationen bis zur Sättigung P_s umorientiert. Es entsteht ein resultierender remanenter Polarisationsvektor parellel zur Richtung des Polungsfeldes und das Material ist anisotrop bzw.piezoelektrisch.

Direkter Piezo-Effekt

Mechanische Spannungen durch Krafteinwirkung von außen auf den piezoelektrischen Körper induzieren Verschiebungen der positiven und negativen Gitterbausteine, welche in Dipolmomenten zum Ausdruck kommen. Der damit verbundene Aufbau eines elektrischen Feldes erzeugt elektrische Spannungen. Vielfach wird dieser direkte Piezo-Effekt in der Literatur auch Generatoreffekt genannt.

Inverser Piezo-Effekt

Das Anlegen einer elektrischen Spannung an einen piezoelektrischen Körper bewirkt dessen geometrische Deformation im ungeklemmten Zustand. Die erzielte Bewegung ist abhängig von der Polarität der angelegten Spannung und der Richtung des Vektors der Polarisation. Das Anlegen einer Wechselspannung erzeugt eine zyklische Änderung der Geometrie (z. B. Zunahme bzw. Verringerung des Durchmessers einer Scheibe). Wird der Körper geklemmt, d.h. Behinderung einer freien Deformation, wird eine mechanische Spannung bzw. Kraft generiert. Dieser Effekt wird vielfach auch Motoreffekt genannt.

Elektromechanische Zusammenhänge

Im Folgenden soll in Kurzform eine quantitative Beschreibung der wichtigsten dielektrischen, elektromechanischen und piezoelektrischen Zusammenhänge, einschließlich einer Parameterdefinition dargestellt werden. Auf detaillierte mathematische und festkörperphysikalische Beziehungen, Methoden der Parameterbestimmung, etc. wird verzichtet. Dazu wird auf die entsprechende Fachliteratur (siehe Empfehlungen auf Seite 38) verwiesen.

Elektromechanische Grundgleichungen Die nachstehenden Beziehungen gelten nur für kleine elektrische und mechanische Amplituden, sogenannte Kleinsignalwerte

Nur in diesem Bereich können polarisierte piezoelektrische Keramiken durch lineare Zusammenhänge zwischen den elastischen Deformations (S) - bzw. Spannungs (T) -Komponenten und den Komponenten des elektrischen Feldes E bzw. der dielektrischen Verschiebung D beschrieben werden. Diese linearen Beziehungen werden durch dielektrische, piezoelektrische und elastische “Konstanten“ vermittelt. Bedingt durch die Anisotropie eines piezoelektrischen Materials sind diese physikalischen Größen nur durch entsprechende Tensoren definierbar, welche die Richtungsabhängigkeiten des elektrischen Feldes, der mechanischen Spannungen, usw. beschreiben.
In vereinfachter Form sind die Grundzusammenhänge der elektrischen und elastischen Eigenschaften (für eine statische bzw. quasistatische Anwendung), wie folgt darstellbar



wobei

D elektrische Flußdichte
T mechanische Spannung
E elektrisches Feld
S mechanische Dehnung
d piezoelektrische Ladungskonstante
^T Permittivität (für T = konstant)
s^E Nachgiebigkeits- bzw.Elastizitätskonstante (für E = konstant)

Die bereits oben erwähnten Richtungsabhängigkeiten der piezoelektrischen Konstanten bezüglich des elektrischen Feldes E, der elektrischen Flussdichte D, der mechanischen Spannung T und der Dehnung S erfordern eine entsprechende Indizierung dieser Koeffizienten. Dazu wird in Analogie zu kristallografischen Beschreibungen bei piezo-ferroelektrischen Keramiken der Polarisationsvektor gewöhnlich parallel zur z- bzw. 3- Achse eines rechtshändigen kartesischen Koordinatensystems gelegt.

Entsprechend den Richtungen x, y und z werden die entsprechenden Parameter mit den Ziffern 1, 2 und 3 definiert. Mechanische Spannungen, tangential zu den das kartesische Koordinatensystem aufspannenden Flächen bzw. auch sogenannte Scherungen an den Achsen, werden durch die Ziffern 4, 5 bzw. 6 gekennzeichnet.


Orthogonalsystem zur Be-
schreibung piezoelektrischer
Materialien

Parameterdefinition

Permittivitätszahl

Die Permittivitätszahl bzw. die relative Dielektrizitätskonstante (DK) ist das Verhältnis aus der absoluten Permittivität des Keramikmaterials und der Permittivität im Vakuum (₀ = 8,85 x 10^-12 F/m), wobei die absolute Permittivität ein Maß für die Polarisierbarkeit im elektrischen Feld darstellt.

Die Richtungsabhängigkeit der DK von der Richtung des elektrischen Feldes und der dielektrischen Verschiebung wird durch entsprechende Indizes symbolisiert. Zum Beispiel beschreibt

• ₃₃ T
  den DK-Wert in Polungsrichtung bei anliegenden elektrischen Feld
  in Polungsrichtung (3-Richtung, siehe oben) unter der Bedingung
  einer konstanten mechanischen Spannung (T=0: "freie" Permittivität)

• ₁₁S
  elektrisches Feld und dielektrische Verschiebung in 1-Richtung, bei
  konstanter Deformation (S=0:"geklemmte" Permittivität)

Piezoelektrische Ladungskonstanten d_ij

Die piezoelektrische Ladungsoder Deformationskonstante d ist ein Maß für die induzierte elektrische Ladung bei Wirkung einer mechanischen Spannung bzw. erzielbare mechanische Dehnung bei Wirkung eines elektrischen Feldes (T=konstant). Zum Beispiel beschreibt

• d₃₃
  die induzierte elektrische Verschiebungsdichte pro mechanische Spannung
  bzw. alternativ die induzierte Dehnung pro definierten elektrischen Feld,
  jeweils in Polungsrichtung.

Piezoelektrische Spannungskonstanten g_ij

Die piezoelektrischen Spannungskonstanten g definieren das Verhältnis von elektrischer Feldstärke E zur wirkenden mechanischen Spannung T. Dividiert man die jeweiligen piezoelektrischen Ladungskonstanten d_ij durch die zugehörige Permittivitätszahl erhält man die entsprechenden g_ij -Koeffizienten. Zum Beispiel beschreibt

• g₃₁
  das induzierte elektrische Feld in 3-Richtung bei in 1-Richtung wirkender
  mechanischer Spannung.

Elastische Nachgiebigkeit s_ij

Die Nachgiebigkeitskonstanten s (auch Elastizitäts-Konstanten genannt) sind ein Maß für das Verhältnis der relativen Deformation S zur mechanischen Spannung T. Bedingt durch die Wechselwirkung von mechanischer und elektrischer Energie sind die jeweiligen elektrischen Grenzbedingungen zu berücksichtigen.
Zum Beispiel beschreibt

• S₃₃^E
  das Verhältnis der mechanischen Dehnung in 3-Richtung zur in 3-Richtung
  wirkender mechanischer Spannung, bei konstantem elektrischem Feld
  (für E = 0: Kurzschluss)

• S₅₅^D
  das Verhältnis einer Scherung zur wirkenden Scherspannung bei konstanter
  dielektrischer Verschiebung (für D = 0: Leerlauf)

Hinweis:
Der im englischsprachigen Raum oftmals verwendete Young-Modul Y_ij entspricht dem reziproken Wert des entsprechenden Elastizitätskoeffizienten.

Parameterdefinition

Frequenzkonstante N_i

Die Frequenzkonstante N entspricht der halben Geschwindigkeit der sich im keramischen Körper ausbreitenden Schallwelle (mit Ausnahme N_P , der sog. planaren Schwingung). Die Indizes bezeichnen die entsprechende Schwingungsrichtung, wobei die jeweilige Abmessung A die zugehörige (Serien-) Resonanzfrequenz f_R bestimmt ( N = f_R * A ).
Zum Beispiel beschreibt

• N₃
  die Frequenzkonstante für die Longitudinalschwingung eines schlanken Stabes, welcher in der Längsrichtung polarisiert ist
• N₁
  die Frequenzkonstante für die transversale Schwingung eines schlanken Stabes, welcher in der 3-Richtung polarisiert ist
• N_P
  die Frequenzkonstante der Flächenschwingung (planar)einer runden Scheibe
• N_t
  die Frequenzkonstante der Dickenschwingung einer dünnen Scheibe, die über die Dicke polarisiert ist.

Mechanische Güte Q_m

Die mechanische Güte Q_m charakterisiert die "Resonanzschärfe" eines piezoelektrischen Körpers (Resonator) und wird vorrangig aus der 3 dB-Bandbreite der Serienresonanz des schwingfähigen Systems bestimmt.
Der reziproke Wert des mechanischen Gütefaktors ist das Verhältnis aus Wirk- und Blindwiderstand, der mechanische Verlustfaktor tan.

Koppelfaktoren k

Der Koppelfaktor k ist ein Maß für den Grad des piezoelektrischen Effektes (k e i n Wirkungsgrad, wie fälschlicherweise oft genannt!) Er beschreibt das Vermögen eines piezoelektrischen Materials, aufgenommene elektrische in mechanische Energie umzuwandeln und umgekehrt. Mathematisch bestimmt sich die Höhe des Koppelfaktors aus der Quadratwurzel des Verhältnisses gespeicherte mechanische Energie zu der gesamten aufgenommenen Energie. Unter dynamischen Bedingungen (Resonanzfall) hängt k von der entsprechenden Schwingungsform des piezoelektrischen Körpers ab.

Zum Beispiel beschreibt

• k₃₃
  der Koppelfaktor der Longitudinalschwingung
• k₃₁
  der Koppelfaktor der transversalen Längsschwingung
• k_P
  der Koppelfaktor der Radialschwingung (planar) einer runden Scheibe
• k_t
  der Koppelfaktor der Dickenschwingung einer Platte
• k₁₅
  der Koppelfaktor der Dickenscherschwingung einer Platte

 

Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Resonators



Typischer Impedanzverlauf

Parameterdefinition

Das dynamische Verhalten

Das elektromechanische Verhalten eines zu Schwingungen angeregten piezoelektrischen Körpers lässt sich in seinen Eigenschaften mit einem elektrischen Ersatzschaltbild darstellen.

C₀ + C₁ ist dabei die Kapazität des Dielektrikums. Die aus C, L, und R bestehende Reihenschaltung beschreibt die Änderung der mechanischen Eigenschaften, wie elastische Deformation, effektive Masse (Trägheit) und mechanische Verluste durch innere Reibung. Diese Schwingkreis-Beschreibung ist allerdings nur für Frequenzen in der Nähe der tiefsten mechanischen Eigenresonanz anwendbar.

Die meisten piezoelektrischen Materialparameter werden über Impedanzmessungen an speziellen Prüfkörpern im Resonanzfall bestimmt. Einen typischen Impedanzverlauf zeigt nachstehende Abbildung.

Für die Bestimmung bzw.Berechnung der piezoelektrischen Kennwerte werden die Serien- und Parallelresonanz herangezogen. Diese entsprechen in guter Näherung dem Impedanzminimum f_m und -maximum f_n.

Schwingungszustände bzw. - formen werden maßgebend von Geometrie des Körpers, mechanoelastischen Eigenschaften und der Polarisationsrichtung bestimmt.

Die wichtigsten Schwingungszustände an definierten Resonatoren werden mit den zugehörigen Konstanten in der nachstehenden Grafik dargestellt.

 

 

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